Od 1973 r. jako nuncjusz do specjalnych poruczeń zajmował się relacjami z komunistycznymi władzami państw Europy Środkowo-Wschodniej. W 1975 r. został szefem delegacji Stolicy Apostolskiej do stałych kontaktów z władzami PRL. W tym charakterze spotykał się z politykami i osobistościami kościelnymi.

Jego misja początkowo była przyjmowana z rezerwą przez kard. Wyszyńskiego, który obawiał się porozumienia między Warszawą a Watykanem ponad głowami polskiego Kościoła. Abp Poggi szybko jednak przyjął punkt widzenia prymasa i rozmowy z władzami uzupełniał konsultacjami z polskimi biskupami.

Po wyborze Jana Pawła II jego funkcja straciła na znaczeniu. W 1986 r. został nuncjuszem apostolskim we Włoszech. W latach 1992–1998 był Bibliotekarzem i Archiwistą Świętego Kościoła Rzymskiego. W 1994 r. został wyniesiony przez Jana Pawła II do godności kardynalskiej.